:: Решение уравнений ::

 Уравнение, сводящееся к квадратному.

 3 cos² x – 5 cos x – 2 = 0

Это уравнение является квадратным относительно cos x.

Обозначив cos x = t, получим

3t² – 5t – 2 = 0

t(1,2) =(5±Ö25+24)/6 = (5±7)/6;

t(1) = 2 , t(2) = -1/3

Уравнение cos x =2 не имеет корней , так как 2 Ï [-1; 1].

Уравнение cos x = - 1/3 имеет корни x = ± arccos (-1/3) + 2 Пn, n Î Z,

x = ±(П – arcos 1/3) + 2 Пn, n Î Z.

 Ответ:  x =±(П – arcos 1/3) + 2 Пn, n Î Z;

Проверь себя !   Реши самостоятельно:

 sin² x – sin x – 2 = 0

 Уравнение, однородное относительно sin x и cos x.

3 sin x – 5 cos x = 0

Разделим обе части уравнение на cos x(cos x ¹ 0, иначе и sin x был бы равен 0, что  невозможно, так как cos² x + sin² x =1). Получив уравнение,

равносильное данному:

3 tg x – 5 = 0, tg x = 5/3 .

Корни этого уравнения x = arctg 5/3 + Пn, n Î Z.

Ответ: x = arctg 5/3 + Пn, n Î Z.

Проверь себя ! Реши самостоятельно:

 sin x + cos x = 0

Уравнение, решаемое путем разложения на множители.

 2 sin x cos 2x – 1 + sin x – 2cos 2x = 0

Способом группировки разложим левую часть исходного уравнения на множители:

2 cos 2x (sin x – 1) + (sin x –1) = (sin x – 1)(2 cos 2x + 1).

Уравнение (sin x – 1)(2 cos 2x + 1) = 0 равносильно совокупности уравнений (sin x – 1) = 0,

2 cos 2x+ 1 = 0.

a)      sin x – 1 = 0, sin x = 1, x = П/2 + 2 Пn, n Î  Z;

б)   2 cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = ± 2П/3 + 2Пn, n Î  Z.

 Ответ: x = П/2 + 2Пn, n Î  Z.

Проверь себя ! Реши самостоятельно:

 sin x – sin 2x = 0

© Mavrin 2003