|
Как и многие разделы математики,
тригонометрия возникла в древние времена из потребностей людей при ведении
расчетов, связанных с земельными работами (для определения расстояния до
недоступных предметов, составления географических карт и пр.). Ещё
древнегреческие ученые создали «тригонометрию хорд», выражавшую
зависимости между центральными углами круга и хордами, на которые они
опираются. Этой тригонометрией пользовался во II в. до н.э. в своих
расчетах древнегреческий астроном Гиппарх. Во II в. н.э. греческий
ученый Птоломей в своей работе «Алмагест» («Великая книга») также
вывел соотношения в круге, которые по своей сути аналогичны современным
формулам синуса половинного и двойного углов, синуса суммы и разности двух
углов.
Долгие годы
тригонометрия служила
астрономии и развивалась благодаря ей. В VIII в. усилиями математиков
Ближнего и Среднего востока тригонометрия выделилась из астрономии и стала
самостоятельной математической дисциплиной. К этому времени хорды в
тригонометрии были заменены синусами (отношениями половины хорды к радиусу
круга), были введены понятия косинуса и тангенса, а также составлены
таблицы значений тригонометрических функций.
Слово «синус» произошло от латинского
sinus
(«перегиб»), которое, в свою очередь,
происходит от арабского слова «лжива» («тетива лука»). Слово «косинус» –
сокращение словосочетания
complementi sinus
(«синус дополнения»), объясняющего тот
факт, что cosa
равен синусу угла, дополняющего угол
a
до П/2,
т.е. cosa
= sin(П/2-a).
Латинское слово
tangens переводится как
«касательная» («касательная к окружности»).
Идея введения тригонометрических
понятий с помощью круга единичного радиуса получила распространение в X-XI
вв.
Первый научный труд, в котором
тригонометрия утвердилась как самостоятельная ветвь математики, был создан
в 1462-1464 гг. немецким астрономом и математиком И. Мюллером,
известным в истории под псевдонимом Региомонтан (1436-1476). После
Региомонтана значительный вклад в тригонометрию внес польский астроном и
математик Н.Коперник (1473-1543), посвятивший этой науке два
раздела своего знаменитого труда «Об обращении небесных тел» (1543). Позже
в сочинениях И.Кеплера (1571-1630), Й.Бюрги (1552-1632),
Ф.Виета (1540-1603) и других известных математиков встречаются сложные
преобразования тригонометрических выражений и выводятся многие формулы.
Интересны, например, рекуррентные формулы, полученные Ф.Виетом:
Соs
ma
= 2cosa
cos(m
- 1)a
-
cos(m
– 2)a;
Соs
ma
= -2sina
sin(m – 1)a
+ cos(m – 2)a;
Sin ma
= 2cosa
sin(m – 1)a
- sin(m – 2)a;
Sin ma
= 2sina
cos(m – 1)a
+ sin(m – 2)a.
Тригонометрическая символика с годами
совершенствовалась и лишь в трудах Л.Эйлера в XVIII в. приобрела
современный вид, удобный для решения вычислительных задач.
Следует также отметить, что помимо
«плоскостной»тригонометрии, изучаемой в школе, существует сферическая
тригонометрия, являющаяся частью сферической геометрии. Сферическая
тригонометрия рассматривает соотношения между сторонами и углами
треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов сферы.
Исторически сферическая тригонометрия возникла из потребностей астрономии,
фактически раньше тригонометрии на плоскости.
Тригонометрические функции
(получившие название от греч.
trigonon
– треугольник и
meteo – измеряю) играют
огромную роль в математике и ее приложениях.
Исследованием тригонометрических
функций практически занимались ещё древнегреческие математики, изучая
взаимное изменение величин в геометрии и астрономии. Соотношения между
сторонами в прямоугольных треугольниках, по своей сути являющиеся
тригонометрическими функциями, рассматривались уже в III в. до н.э. в
работах Евклида, Архимеда, Аполлония и других ученых.
Учения о тригонометрических величинах
получило развитие в VIII-XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока.
Так, в IX в. в Багдаде аль-Хорезми составил первые таблицы синусов.
Аль-Бузджани в X в. сформулировал теорему синусов и с её помощью
построил таблицу синусов с интервалом 15’, в которой значения синусов
приведены с точностью до 8-го десятичного знака. Ахмад-аль-Беруни в
XI в. вместо деления радиуса на части при определении значений синуса и
косинуса, сделанного до него Птоломеем, начал использовать
окружность единичного радиуса. В первой половине XV в. аль-Каши
создал тригонометрические таблицы с шагом 1’,
которые последующие 250 лет были непревзойдёнными по точности. Самым
крупным европейским представителем той эпохи, внесшим вклад в развитие
исследования тригонометрических функций, считается Региомонтан.
В начале XVII в. в развитии
тригонометрии наметилось новое направление – аналитическое. Если до этого
учения о тригонометрических функциях строились на геометрической основе,
то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно вошла в состав математического
анализа и стала широко использоваться в механике и технике, особенно при
рассмотрении колебательных процессов и иных периодических явлений.
О свойствах периодичности
тригонометрических функций знал ещё Ф. Виет. Швейцарский математик
И. Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символику
тригонометрических функций. Однако близкую к принятой теперь ввел Л.
Эйлер в 1748 г. в своей работе «Введение в анализ бесконечных». В ней
он рассмотрел вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого
аргумента.
Тригонометрические функции Эйлер
рассматривал как особые числа, называя их общим термином
трансцендентные количества, получающиеся из круга.
В 19 в. дальнейшее развитие теории
тригонометрических функций было продолжено в работах русского математика
Н.Л.Лобачевского (1792-1856), а также в трудах других ученых,
например в работах профессоров МГУ Д.Е. Меньшова и Н.К. Бари.
Ещё древнегреческие математики,
используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников,
фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения
типа: sin x
=
a,
где 0 < x
< П/2
и |a|
< 1.
Исторически учение о решении
тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории
тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их
решения. Как мы видим, часть тригонометрических уравнений непосредственно
решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным
разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна
0. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким
образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для
решения алгебраическое уравнение.
К сожалению, нельзя указать общего
метода решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме
простейших) требует особого подхода.
|
