Приступая к решению системы тригонометрических уравнений, целесообразно вначале проверить, нельзя ли непосредственно из какого-либо уравнения системы выразить одно из неизвестных через другие.

   Задача 1 (МФТИ, 1983). Решите систему уравнений:

   Решение. Исходная система имеет смысл лишь в случае, когда определены функции tg x и tg y, т.е. выполняются условия

cos x ≠ 0, cos y ≠ 0.    (3)

   Рассмотрим первое уравнение. Естественно было бы разделить обе его части на 1 - tg x tg y и воспользоваться формулой тангенса суммы. Тогда уравнение (1) можно было бы переписать в виде:

tg (x+y) = 1    (4)

но при этом мы можем потерять те решения системы (1), (2), для которых

1 - tg x tg y = 0    (5)

Однако легко убедиться в том, что система (1), (2), (5) не имеет решений. В самом деле, если бы существовали решения этой системы, то из уравнений (1) следовало бы, что tg x + tg y = 0. Но тогда уравнение (5) приняло бы вид 1+tg²y=0, и следовательно, оно бы решений не имело.

   Таким образом, исходная система пир условии (3) равносильна системе (2), (4).

   Из уравнений (4) находим x + y = П/4 + Пn, т.е.

y = П/4 + Пn - x, n Î Z   (6)

   Теперь найденное для y выражение подставим в уравнение (2) исходной системы:

sin (П/2 - 2x + 2Пn) - Ö2 sin x = 1.

   Полученное уравнение приводится к виду sin x (2 sin x + Ö2) = 0, откуда

а) sin x = 0, x = Пm, m Î Z

б) sin x = -Ö2/2

x = (-1)^k+1П/4 + Пk, k Î Z.

   По формуле (6) определяем соответствующие значение y. Для серии а)

y = П/4 + П(n - m), n,m Î Z    (7)

для серии б)

y = П/4 - (-1)^k+1П/4 + П(n - k), n,k Î Z    (8)

   Значения (x, y) из формулы (7) удовлетворяют условию (3). Для серии (8) требуется дополнительное исследование. Если sin x = - Ö2/2, то cos x ≠ 0, так что первое неравенство условия (3) заведомо выполнено. Второе неравенство  cos y ≠ 0 выполняется не всегда.

   Если k - четное число, т.е. k = 2p, где p Î Z, то по формуле (8) находим y = П/2 + П(n - 2p). Для этих значений y условие (3) не выполняется. Если же k - нечетное число, т.е. k = 2p-1, где p Î Z, то y = П(n - 2p + 1) и условие (3) выполнено. Соответствующие зжначения x находим по формуле б): x = - 3П/4 + 2Пp.

   Ответ: (Пm; П/4+П(n - m)), (- 3П/4 + 2Пp; П(n - 2p_1)), m,n,p Î Z.

   Задача 2. Решите систему уравнений:

   Решение. Сложив уравнения системы (9), а затем вычтя из второго уравнений первое, получим систему, равносильную системе (9):

откуда последовательно находим

x + y = Пn, y - x = П/2 + 2Пk

x = П (n/2 + k + 1/4)

y = П (n/2 + k + 1/4)

   Ответ: (П (n/2 + k + 1/4); П (n/2 + k + 1/4))

   Задача 3. Решите систему уравнений:

   Решение. Воспользуемся тождеством

(sin x - cos x)² = 1 - sin 2x

и обозначим

cos x - sin x = u, cos y - sin y =v    (11)

тогда

sin 2x = 1 - u², sin 2y = 1 - v²

и система (10) сводится к алгебраической системе

   Система (12) имеет два решения:

u1 = - 9/2, v1 = - 11/2 и u2 = 1/2, v2 = - 1/2

   Рассмотрим вначале значения u1, v1. Возвращаясь к исходным переменным, по формулам (11) получаем:

   Но уже первое уравнение системы (13) решений не имеет, так как

cos x - sin x = Ö2 cos (x + П/4) ≥ - Ö2 > - 9/2.

   Следовательно система (13) решений не имеет.

   Рассмотрим теперь значение u2 и v2. Вновь по формулам (11) получим

   Для первого уравнения находим

co x 1/Ö2 - sin x 1/2 = 1/2Ö2, cos (x + П/4) = 1/2Ö2, x + П/4 = ± arccos(1/2Ö2) + 2Пn,  x = - П/4 ± arccos(1/2Ö2) + 2Пn.

Точно так же получаем

y = - П/4 ± arccos(1/2Ö2) + 2Пm.

Таким образом, найдем следующие решения исходной системы:

   Ответ: (- П/4 ± arccos(1/2Ö2) + 2Пn; - П/4 ± arccos(- 1/2Ö2) + 2Пm) (знаки выбираются независимо друг от друга).

   При таких способах решения необходимо внимательно следить за тем, чтобы не потерять решений и не приобрести посторонних решений.

   Задача 4 (МФТИ, 1978). Решите систему уравнений:

   Решение. Систему (15) можно привести к виду (14). Сделав это, получим равносильную систему:

   Возводя почленно уравнения системы (16) в квадрат и складывая, получаем уравнение, являющееся следствием системы (16):

1 = 9/16 + 3/4 sin y + 1/4 sin² y + 1/4 cos² y, или

sin y = 1/4    (17), откуда

y = (-1)ⁿ arcsin1/4 + Пn.    (18)

   Из первого уравнения системы (16) с учетом (17) находим sin x = 7/8,

x = (-1)^m arcsin7/8 + Пm    (19)

   Поскольку при решении системы (15) могли появиться посторонние решения (использовалась операция возведения в квадрат), необходимо произвести отбор, подставив найденные значения (18), (19) во второе уравнение этой системы.

   Легко видеть, что пир четных m и n в формулах (18), (19) соответствующие значения cos x и cos y положительны, а при нечетных m и n эти значения отрицательны. Таким образом, |cos x| = Ö(1 - sin² x) = Ö15/8, |cos y| = Ö15/4, так что для выполнения второго уравнения системы (16) требуется только, чтобы знаки cos x и cos y совпадали. Отсюда получаем:

   Обе полученные серии (20) можно объединить и ответ записать в следующем виде.

   Ответ: ((-1)^p arcsin7/8 + Пp; (-1)^p arcsin1/4 + П(p + 2r)).

   При решении тригонометрических систем часто бывает непросто сделать первый шаг, найти "ключ" к решению задачи. Какие-то общие рекомендации дать нельзя. Можно лишь посоветовать стараться применять такие преобразования уравнений системы, которые приводят к появлению тригонометрических функций одного аргумента или хотя бы не увеличивают число функций с разными аргументами.

Практикум абитуриента. Решение систем тригонометрических уравнений. Кандидат физико-математических наук А.А. Болибрух, кандидат физико-математических наук В.М. Уроев, профессор М.И. Шабунин