:: Историческая справка ::

(>

Главная

 

(>

Историческая справка

 

(>

Справочник

 
(>

Репетитор

 
(>

Тесты

 
(>

Графики

 
(> Уравнения  
(> Системы уравнений  
(>

Неравенства

 
(>

Совет учителя

 
(> Карта сайта  
(> Об авторах  

  

     Как и многие разделы математики, тригонометрия возникла в древние времена из потребностей людей при ведении расчетов, связанных с земельными работами (для определения расстояния до недоступных предметов, составления географических карт и пр.). Ещё древнегреческие   ученые создали «тригонометрию хорд», выражавшую зависимости между центральными углами круга и хордами, на которые они опираются. Этой тригонометрией пользовался во II в. до н.э. в своих расчетах древнегреческий астроном Гиппарх. Во II в. н.э. греческий ученый Птоломей в своей работе «Алмагест» («Великая книга») также вывел соотношения в круге, которые по своей сути аналогичны современным формулам синуса половинного и двойного углов, синуса суммы и разности двух углов.

     Долгие годы тригонометрия служила астрономии и развивалась благодаря ей. В VIII в. усилиями математиков Ближнего и Среднего востока тригонометрия выделилась из астрономии и стала самостоятельной математической дисциплиной. К этому времени хорды в тригонометрии были заменены синусами (отношениями половины хорды к радиусу круга), были введены понятия косинуса и тангенса, а также составлены таблицы значений тригонометрических функций.

     Слово «синус» произошло от латинского sinus («перегиб»), которое, в свою очередь, происходит от арабского слова «лжива» («тетива лука»). Слово «косинус» – сокращение словосочетания complementi sinus («синус дополнения»), объясняющего тот факт, что cosa равен синусу угла, дополняющего угол a до П/2, т.е. cosa = sin(П/2-a). Латинское слово tangens переводится как «касательная» («касательная к окружности»).

     Идея введения тригонометрических понятий с помощью круга единичного радиуса получила распространение в X-XI вв.

     Первый научный труд, в котором тригонометрия утвердилась как самостоятельная ветвь математики, был создан в 1462-1464 гг. немецким астрономом и математиком И. Мюллером, известным в истории под псевдонимом Региомонтан (1436-1476). После Региомонтана значительный вклад в тригонометрию внес польский астроном и математик Н.Коперник (1473-1543), посвятивший этой науке два раздела своего знаменитого труда «Об обращении небесных тел» (1543). Позже в сочинениях И.Кеплера (1571-1630), Й.Бюрги (1552-1632), Ф.Виета (1540-1603) и других известных математиков встречаются сложные преобразования тригонометрических выражений и выводятся многие формулы. Интересны, например, рекуррентные формулы, полученные Ф.Виетом:

Соs ma = 2cosa cos(m - 1)a - cos(m – 2)a;

Соs ma = -2sina sin(m – 1)a + cos(m – 2)a;

Sin ma = 2cosa sin(m – 1)a - sin(m – 2)a;

Sin ma = 2sina cos(m – 1)a + sin(m – 2)a.

     Тригонометрическая символика с годами совершенствовалась и лишь в трудах Л.Эйлера в XVIII в. приобрела современный вид, удобный для решения вычислительных задач.

     Следует также отметить, что помимо «плоскостной»тригонометрии, изучаемой в школе, существует сферическая тригонометрия, являющаяся частью сферической геометрии. Сферическая тригонометрия рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов сферы. Исторически сферическая тригонометрия возникла из потребностей астрономии, фактически раньше тригонометрии на плоскости.

     Тригонометрические функции (получившие название от греч. trigonon – треугольник и meteo – измеряю) играют огромную роль в математике и ее приложениях.

   Исследованием тригонометрических функций практически занимались ещё древнегреческие математики, изучая взаимное изменение величин в геометрии и астрономии. Соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках, по своей сути являющиеся тригонометрическими функциями, рассматривались уже в III в. до н.э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония и других ученых.

     Учения о тригонометрических величинах получило развитие в VIII-XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока. Так, в IX в. в Багдаде аль-Хорезми составил первые таблицы синусов. Аль-Бузджани в X в. сформулировал теорему синусов и с её помощью построил таблицу синусов с интервалом 15’, в которой значения синусов приведены с точностью до 8-го десятичного знака. Ахмад-аль-Беруни в XI в. вместо деления радиуса на части при определении значений синуса и косинуса, сделанного до него Птоломеем, начал использовать окружность единичного радиуса. В первой половине XV в. аль-Каши создал тригонометрические таблицы с шагом 1, которые последующие 250 лет были непревзойдёнными по точности. Самым крупным европейским представителем той эпохи, внесшим вклад в развитие исследования тригонометрических функций, считается Региомонтан.

     В начале XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление – аналитическое. Если до этого учения о тригонометрических функциях строились на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно вошла в состав математического анализа и стала широко использоваться в механике и технике, особенно при рассмотрении колебательных процессов и иных периодических явлений.

     О свойствах периодичности тригонометрических функций знал ещё Ф. Виет. Швейцарский математик И. Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символику тригонометрических функций. Однако близкую к принятой теперь ввел Л. Эйлер в 1748 г. в своей работе «Введение в анализ бесконечных». В ней он рассмотрел вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента.

     Тригонометрические функции Эйлер рассматривал как особые числа, называя их общим термином трансцендентные количества, получающиеся из круга.

     В 19 в. дальнейшее развитие теории тригонометрических функций было продолжено в работах русского математика Н.Л.Лобачевского (1792-1856), а также в трудах других ученых, например в работах профессоров МГУ Д.Е. Меньшова и Н.К. Бари.

     Ещё древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения типа: sin x = a, где 0 < x < П/2 и |a| < 1.

     Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения. Как мы видим, часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна 0. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.

     К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

 

++

И. Бернулли

 

Л. Эйлер

 

Ф.Виет

 

Птоломей

 

© Mavrin 2003

 

Хостинг от uCoz